Ilha de Koch

2010/06/14

Neste artigo iremos falar muito superficialmente sobre as figuras geométricas conhecidas como linha de Koch e ilha de Koch. O nome vem do matemático sueco Helge von Koch, que em 1904 referiu num artigo pela primeira vez a  curva que é hoje conhecida como linha de Koch.

Linha de Koch

A linha de Koch é uma figura geométrica que nos será útil para definir a ilha de Koch. Consideremos a sequência de figuras que descrevemos em seguida. Começamos com um segmento horizontal, com uma unidade de comprimento.

Em seguida, dividimos este segmento em três partes iguais e substituimos a parte do meio por outros dois segmentos correspondendo a dois lados de um triângulo equilátero. Este passo está ilustrado na figura em baixo. O comprimento de cada um destes 4 segmentos é 1/3 pelo que o comprimento da linha completa é de 4/3.

No terceiro passo fazemos algo semelhante ao realizado no segundo passo, agora para cada um dos 4 segmentos da figura. Cada segmento é dividido em três e a parte do meio substituida por outros dois segmentos formando dois lados de um triângulo equilátero. Se no segundo passo a figura era composta por segmentos de comprimento 1/3 agora os segmentos são de comprimento 1/9 e o comprimento total passou a ser 16/9.

As figuras em baixo correspondem aos passos 4, 5, 6 desta iteração.

Continuando com o mesmo procedimento em cada passo, no limite obtém-se a figura designada por linha de Koch. Assumimos, sem demonstração, que  existe efectivamente o limite desta sucessão.

A linha de Koch tem, entre outras, as seguintes propriedades interessantes:

  • É uma linha contínua.
  • Não tem derivada em nenhum ponto. Tomamos aqui a linha como uma aplicação de \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2.
  • Tem comprimento infinito.

É simples verificar que o comprimento da linha de Koch é infinito. De facto, se chamarmos L_n ao comprimento da figura do passo n tem-se que

L_n = \frac{4}{3}L_{n-1}.

Como L_0=1 então

L_n = \left(\frac{4}{3}\right)^n,

que é uma sucessão que cresce sem ter majorante. Ou seja, o comprimento da figura limite é infinito.

Ilha de Koch

A figura conhecida como ilha de Koch é obtida através de um procedimento semelhante ao usado para criar a linha de Koch, mas em vez de começar com um único segmento começa-se com um triângulo equilátero. As imagens em baixo representam as seis primeiras iterações do procedimento.

O perímetro da ilha de Koch é infinito. Tal acontece porque esta figura é constituida pela união de três versões idênticas, apropriadamente rodadas e deslocadas, da linha de Koch. No entanto a área da ilha de Koch é claramento limitada. Podemos mesmo calcular a área como o limite da sucessão das áreas das figuras intermédias.

A área da ilha de Koch pode ser obtida como o limite das áreas das figuras intermédias. Vamos então calcular a área A_n da figura do passo n. A área da figura do passo n é dada pela soma da área da figura do passo n-1 com as áreas dos pequenos triângulos que são adicionados à figura do passo n-1 para obter a figura do passo n.

Precisamos de saber quantos pequenos triângulos são acrescentados no passo n-1 para obter a figura do passo n. Precisamos também de saber o comprimento do lado desses pequenos triângulos, para calcular a respectiva área.

O número de pequenos triângulos que são acrecentados no passo n-1 corresponde ao número de troços no passo n-1. Chamemos c_n ao número de troços no passo n. Tem-se então:

\displaystyle c_0=3, \quad c_n=4c_{n-1} \qquad \Rightarrow \qquad c_n = 3\times 4^n

O comprimento do lado dos pequenos triângulos que são acrescentados no passo n-1 corresponde ao número de troços que existem no passo n. Chamemos-lhe l_n. Tem-se que:

\displaystyle l_0=1, \quad l_n=\frac{1}{3}l_{n-1} \qquad \Rightarrow \qquad l_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n

Chamemos a_n à área de cada um dos pequenos triângulos acrescentados no passo n-1. Sendo a área a de um triângulo equilátero de lado l dada por a=\frac{\sqrt{3}}{4}l^2 teremos

\displaystyle a_n = \frac{\sqrt{3}}{4} l_n^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{1}{9}\right)^n

Com o que já foi dito temos

\displaystyle A_n = A_{n-1} + c_{n-1}a_n

\displaystyle A_n = A_0 + \sum_{k=1}^n c_{k-1}a_k

\displaystyle A_n = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( 1 + \frac{3}{4} \sum_{k=1}^n \left(\frac{4}{9}\right)^n \right)

No limite temos a soma dos termos de uma progressão geométrica de razão 4/9. Sendo \sum_{k=0}^\infty = \frac{1}{1-r} ou \sum_{k=1}^\infty = \frac{r}{1-r} teremos finalmente a área da ilha de Koch como

\displaystyle A = \lim A_n = \frac{2\sqrt{3}}{5}

Cólofon

As imagens PNG usadas neste artigo com os diferentes passos das iterações da linha de Koch e ilha de Koch foram geradas com Inkscape a partir de ficheiros SVG.

Os ficheiros SVG com as figuras foram gerados a partir de um programa para geração de iterações de Sistemas-L escrito na linguagem de scripting Tea.


Seguir

Get every new post delivered to your Inbox.